Математический анализ Примеры

$\arcsin (x y) = \frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x y)) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arcsin (x)$ и $g (x) = x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.2

Производная $\arcsin (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y \cdot 1)$

Этап 2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x y)}^{2}}} (x y' + y)$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим правило умножения к $x y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (x^{2} y^{2})}} (x y' + y)$

Этап 2.6.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} (x y' + y)$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}}$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3} \cdot \arctan (4 x)$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.2.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + {(4 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило умножения к $4 (x)$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 4^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 16 x^{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.3.2.2

Умножим $\frac{1}{1 + 16 x^{2}}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{(1 + 16 x^{2}) \cdot 3} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 3.3.2.3

Перенесем $3$ влево от $1 + 16 x^{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 3.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 16 x^{2})} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Объединим $4$ и $\frac{2}{3 (1 + 16 x^{2})}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3 (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})} \cdot 1$

Этап 3.3.6

Умножим $\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})}$ на $1$ .

$\frac{8}{3 (1 + 16 x^{2})}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8}{3 \cdot 1 + 3 (16 x^{2})}$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{8}{3 + 3 (16 x^{2})}$

Этап 3.4.2.2

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{8}{3 + 48 x^{2}}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{8}{48 x^{2} + 3}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $3$ из $48 x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Вынесем множитель $3$ из $48 x^{2}$ .

$\frac{8}{3 (16 x^{2}) + 3}$

Этап 3.4.4.2

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{8}{3 (16 x^{2}) + 3 (1)}$

Этап 3.4.4.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (16 x^{2}) + 3 (1)$ .

$\frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$(x y' + y) (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}}) = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Каждый член в $(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ умножим на $\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим каждый член $(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ на $\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2} y^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.1.2

Перепишем $x^{2} y^{2}$ в виде ${(x y)}^{2}$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x y$ .

$(x y' + y) \frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ .

$(x y' + y) (\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}) \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.3.1.2

Возведем $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ в степень $1$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.3.1.3

Возведем $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ в степень $1$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.3.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1 + 1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.3.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.3.1.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}$ в виде $(1 + x y) (1 - x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ в виде ${((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{({((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.3.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.3.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.3.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.3.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{{((1 + x y) (1 - x y))}^{1}} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.3.1.6.5

Упростим.

$(x y' + y) \frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.3.2

Умножим $x y' + y$ на $\frac{\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)}$ .

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.3.3

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.3.3.2

Перепишем $x^{2} y^{2}$ в виде ${(x y)}^{2}$ .

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.4

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - (x y))} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.5

Умножим $\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.5.1

Объединим $\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)}$ и $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ .

$\frac{(x y' + y) \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.5.2

Возведем $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ в степень $1$ .

$\frac{(x y' + y) ({\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.5.3

Возведем $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ в степень $1$ .

$\frac{(x y' + y) ({\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1} {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x y' + y) {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{1 + 1}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(x y' + y) {\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.6.1

Перепишем ${\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}^{2}$ в виде $(1 + x y) (1 - x y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.6.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ в виде ${((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x y' + y) {({((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.6.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{\frac{2}{2}}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x y' + y) {((1 + x y) (1 - x y))}^{1}}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.1.5

Упростим.

$\frac{(x y' + y) ((1 + x y) (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.2

Развернем $(1 + x y) (1 - x y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x y' + y) (1 (1 - x y) + x y (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x y' + y) (1 \cdot 1 + 1 (- x y) + x y (1 - x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x y' + y) (1 \cdot 1 + 1 (- x y) + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.6.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{(x y' + y) (1 + 1 (- x y) + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.3.1.2

Умножим $- x y$ на $1$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y \cdot 1 + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y + x y (- x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x y (x y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.6.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - (x \cdot x) y \cdot y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} y \cdot y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.3.1.6

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.6.3.1.6.1

Перенесем $y$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} (y \cdot y))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.3.1.6.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x y + x y - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.3.2

Добавим $- x y$ и $x y$ .

$\frac{(x y' + y) (1 + 0 - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x y' + y) (1 - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(x y' + y) (1^{2} - x^{2} y^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.5

Перепишем $x^{2} y^{2}$ в виде ${(x y)}^{2}$ .

$\frac{(x y' + y) (1^{2} - {(x y)}^{2})}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.6

$\frac{(x y' + y) ((1 + x y) (1 - (x y)))}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.6.7

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{(x y' + y) (1 + x y) (1 - x y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.7

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.7.1

Сократим общий множитель $1 + x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.7.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x y' + y) (1 + x y) (1 - x y)}{(1 + x y) (1 - x y)} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.7.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x y' + y) (1 - x y)}{1 - x y} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.7.2

Сократим общий множитель $1 - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x y' + y) (1 - x y)}{1 - x y} = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.2.7.2.2

Разделим $x y' + y$ на $1$ .

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1 - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1^{2} - x^{2} y^{2}}$

Этап 5.1.3.1.2

Перепишем $x^{2} y^{2}$ в виде ${(x y)}^{2}$ .

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{1^{2} - {(x y)}^{2}}$

Этап 5.1.3.2

$x y' + y = \frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)} \sqrt{(1 + x y) (1 - (x y))}$

Этап 5.1.3.3

Объединим $\frac{8}{3 (16 x^{2} + 1)}$ и $\sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}$ .

$x y' + y = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}$

Этап 5.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $x y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y$ на $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x} + \frac{- y}{x}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y}{x}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $- y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} - y \cdot \frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Этап 5.3.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Объединим $- y$ и $\frac{3 (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)}}{3 (16 x^{2} + 1)} + \frac{- y (3 (16 x^{2} + 1))}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Этап 5.3.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - y (3 (16 x^{2} + 1))}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Этап 5.3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 y (16 x^{2} + 1)}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Этап 5.3.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 y (16 x^{2}) - 3 y \cdot 1}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 \cdot 16 y x^{2} - 3 y \cdot 1}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Этап 5.3.3.4.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 3 \cdot 16 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Этап 5.3.3.4.5

Умножим $- 3$ на $16$ .

$y' = \frac{\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}}{x}$

Этап 5.3.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 5.3.3.6

Умножим $\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1)}$ на $\frac{1}{x}$ .

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1) x}$

Этап 5.3.3.7

Изменим порядок множителей в $\frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 (16 x^{2} + 1) x}$ .

$y' = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 x (16 x^{2} + 1)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 \sqrt{(1 + x y) (1 - x y)} - 48 y x^{2} - 3 y}{3 x (16 x^{2} + 1)}$