Математический анализ Примеры

$x y = \sin (x + y)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (\sin (x + y))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$x y' + y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$x y' + y = \cos (x + y) (1 + y')$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $\cos (x + y) (1 + y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перепишем.

$x y' + y = 0 + 0 + \cos (x + y) (1 + y')$

Этап 5.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x y' + y = \cos (x + y) (1 + y')$

Этап 5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x y' + y = \cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y'$

Этап 5.1.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.1

Умножим $\cos (x + y)$ на $1$ .

$x y' + y = \cos (x + y) + \cos (x + y) y'$

Этап 5.1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$x y' + y = \cos (x + y) + y' \cos (x + y)$

Этап 5.2

Вычтем $y' \cos (x + y)$ из обеих частей уравнения.

$x y' + y - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

Этап 5.3

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' - y' \cos (x + y) = \cos (x + y) - y$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $x y' - y' \cos (x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' x - y' \cos (x + y) = \cos (x + y) - y$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y' \cos (x + y)$ .

$y' (x) + y' (- 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x) + y' (- 1 \cos (x + y))$ .

$y' (x - 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$

Этап 5.5

Перепишем $- 1 \cos (x + y)$ в виде $- \cos (x + y)$ .

$y' (x - \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$

Этап 5.6

Разделим каждый член $y' (x - \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$ на $x - \cos (x + y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $y' (x - \cos (x + y)) = \cos (x + y) - y$ на $x - \cos (x + y)$ .

$\frac{y' (x - \cos (x + y))}{x - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} + \frac{- y}{x - \cos (x + y)}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $x - \cos (x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x - \cos (x + y))}{x - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} + \frac{- y}{x - \cos (x + y)}$

Этап 5.6.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} + \frac{- y}{x - \cos (x + y)}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{\cos (x + y)}{x - \cos (x + y)} - \frac{y}{x - \cos (x + y)}$

Этап 5.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{\cos (x + y) - y}{x - \cos (x + y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x + y) - y}{x - \cos (x + y)}$