Математический анализ Примеры

$x = \sqrt{1 - y^{2}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - y^{2}}$ в виде ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 - y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Этап 4.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Этап 4.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Этап 4.6.2.2

Перенесем ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - y^{2}]$

Этап 4.6.3

По правилу суммы производная $1 - y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Этап 4.6.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

Этап 4.6.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 4.6.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 4.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 4.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 4.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 4.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Этап 4.8.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 4.8.3

Объединим $y$ и $\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.8.4

Перенесем $- 2$ влево от $y$ .

$\frac{- 2 \cdot y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.8.5

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y$ .

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- y)}{2 ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 4.11

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y'$

Этап 4.12

Объединим $y'$ и $\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{y' y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.13

Изменим порядок множителей в $y' y$ .

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Этап 6.2

Разделим каждый член $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 6.2.2.2

Разделим $\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Этап 6.3

Умножим обе части на ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.4.1.2

Перепишем это выражение.

$y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.5

Разделим каждый член $y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Разделим каждый член $y y' = - {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Этап 6.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Этап 6.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Этап 6.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$