Математический анализ Примеры

$x = \ln (1 - 7 y^{2})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\ln (1 - 7 y^{2}))$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 - 7 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 - 7 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 - 7 y^{2}$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 7 y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $1 - 7 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}])$

Этап 3.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}])$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [- 7 y^{2}]$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 y^{2}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 - 7 y^{2}} (- 7 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Этап 3.2.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{1 - 7 y^{2}}$ .

$\frac{- 7}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$- \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{7}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{7}{1 - 7 y^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 7}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4.3

Умножим $- 2$ на $7$ .

$\frac{- 14}{1 - 7 y^{2}} (y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4.4

Объединим $y$ и $\frac{- 14}{1 - 7 y^{2}}$ .

$\frac{y \cdot - 14}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Перенесем $- 14$ влево от $y$ .

$\frac{- 14 \cdot y}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.4.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{14 y}{1 - 7 y^{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- \frac{14 y}{1 - 7 y^{2}} y'$

Этап 3.6

Объединим $y'$ и $\frac{14 y}{1 - 7 y^{2}}$ .

$- \frac{y' (14 y)}{1 - 7 y^{2}}$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{14 y' y}{1 - 7 y^{2}}$

Этап 3.7.2

Изменим порядок множителей в $14 y' y$ .

$- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ .

$- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}}$ на $1$ .

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} = - 1$

Этап 5.3

Умножим обе части на $1 - 7 y^{2}$ .

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} (1 - 7 y^{2}) = - (1 - 7 y^{2})$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Сократим общий множитель $1 - 7 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{14 y y'}{1 - 7 y^{2}} (1 - 7 y^{2}) = - (1 - 7 y^{2})$

Этап 5.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$14 y y' = - (1 - 7 y^{2})$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим $- (1 - 7 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$14 y y' = - 1 \cdot 1 - (- 7 y^{2})$

Этап 5.4.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$14 y y' = - 1 - (- 7 y^{2})$

Этап 5.4.2.1.2.2

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$14 y y' = - 1 + 7 y^{2}$

Этап 5.4.2.1.2.3

Изменим порядок $- 1$ и $7 y^{2}$ .

$14 y y' = 7 y^{2} - 1$

Этап 5.5

Разделим каждый член $14 y y' = 7 y^{2} - 1$ на $14 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $14 y y' = 7 y^{2} - 1$ на $14 y$ .

$\frac{14 y y'}{14 y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{14 y y'}{14 y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y y'}{y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y'}{y} = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{7 y^{2}}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $7$ и $14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 y^{2}$ .

$y' = \frac{7 (y^{2})}{14 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Этап 5.5.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $7$ из $14 y$ .

$y' = \frac{7 (y^{2})}{7 (2 y)} + \frac{- 1}{14 y}$

Этап 5.5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{7 y^{2}}{7 (2 y)} + \frac{- 1}{14 y}$

Этап 5.5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y^{2}}{2 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Этап 5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{2 y} + \frac{- 1}{14 y}$

Этап 5.5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 2} + \frac{- 1}{14 y}$

Этап 5.5.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{y \cdot y}{y \cdot 2} + \frac{- 1}{14 y}$

Этап 5.5.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{y}{2} + \frac{- 1}{14 y}$

Этап 5.5.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{y}{2} - \frac{1}{14 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2} - \frac{1}{14 y}$