Математический анализ Примеры

$y = (2 x - \csc^{2} (3 x - 1))$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$y = 2 x - \csc^{2} (3 x - 1)$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x - \csc^{2} (3 x - 1))$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $2 x - \csc^{2} (3 x - 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Этап 4.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \csc^{2} (3 x - 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \csc^{2} (3 x - 1)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\csc^{2} (3 x - 1)]$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \csc (3 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (3 x - 1)$ .

$2 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Этап 4.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Этап 4.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (3 x - 1)$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) \frac{d}{d x} [\csc (3 x - 1)])$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x - 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

Этап 4.3.3.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x - 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]))$

Этап 4.3.4

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])))$

Этап 4.3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])))$

Этап 4.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])))$

Этап 4.3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 \cdot 1 + 0)))$

Этап 4.3.8

Умножим $3$ на $1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) (3 + 0)))$

Этап 4.3.9

Добавим $3$ и $0$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1) \cdot 3))$

Этап 4.3.10

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 - (2 \csc (3 x - 1) (- 3 \csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1)))$

Этап 4.3.11

Умножим $- 3$ на $2$ .

$2 - (- 6 \csc (3 x - 1) (\csc (3 x - 1) \cot (3 x - 1)))$

Этап 4.3.12

Возведем $\csc (3 x - 1)$ в степень $1$ .

$2 - (- 6 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc (3 x - 1)) \cot (3 x - 1))$

Этап 4.3.13

Возведем $\csc (3 x - 1)$ в степень $1$ .

$2 - (- 6 (\csc^{1} (3 x - 1) \csc^{1} (3 x - 1)) \cot (3 x - 1))$

Этап 4.3.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 - (- 6 {\csc (3 x - 1)}^{1 + 1} \cot (3 x - 1))$

Этап 4.3.15

Добавим $1$ и $1$ .

$2 - (- 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1))$

Этап 4.3.16

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$2 + 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1)$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 \csc^{2} (3 x - 1) \cot (3 x - 1) + 2$