Математический анализ Примеры

$y = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + \frac{1}{x}$ и $g (x) = x - \frac{1}{x}$ .

$(x + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}] + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x - \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$(x + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Этап 3.3

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Этап 3.4.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Этап 3.4.3.2

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Этап 3.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Этап 3.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Этап 3.4.5.2

Добавим $1 + x^{- 2}$ и $0$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Этап 3.4.6

По правилу суммы производная $x + \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 3.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 3.4.8

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Этап 3.4.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

Этап 3.5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.5.3

Изменим порядок членов.

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Развернем $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Умножим $x$ на $1$ .

$x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.2.1.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.2.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.2.1.4

Объединим.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.2.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.5.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.5.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x^{1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.2.1.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2 + 1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.2.1.5.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.2.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.2.2

Добавим $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x}$ .

$x + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.4

Развернем $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 (x - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1.1

Умножим $x$ на $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.5.1.2

Умножим $- \frac{1}{x}$ на $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.5.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.5.1.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.5.1.3.3

Сократим общий множитель.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.5.1.3.4

Перепишем это выражение.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.5.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

Этап 3.5.4.5.1.5

Умножим $- \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x^{2}} \frac{1}{x}$

Этап 3.5.4.5.1.5.2

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 3.5.4.5.1.5.3

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x}$

Этап 3.5.4.5.1.5.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1.5.4.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1.5.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x^{1}}$

Этап 3.5.4.5.1.5.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2 + 1}}$

Этап 3.5.4.5.1.5.4.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 3.5.4.5.2

Вычтем $\frac{1}{x}$ из $- \frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 3.5.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.6.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{- 2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 3.5.4.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 3.5.5

Объединим противоположные члены в $x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.5.1

Вычтем $\frac{2}{x}$ из $\frac{2}{x}$ .

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + 0 + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 3.5.5.2

Добавим $x + \frac{1}{x^{3}} + x$ и $0$ .

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{1}{x^{3}}$

Этап 3.5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x + x + \frac{1 + 1}{x^{3}}$

Этап 3.5.7

Добавим $1$ и $1$ .

$x + x + \frac{2}{x^{3}}$

Этап 3.5.8

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$