Математический анализ Примеры

$y + x \cos (y) = x^{2} y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y + x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (x^{2} y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y + x \cos (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \cos (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (y)$ .

$y' + x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$y' + x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$y' + x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$y' + x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$y' + x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y' + x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Этап 2.3.5

Умножим $\cos (y)$ на $1$ .

$y' + x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- x \sin (y) y' + y' + \cos (y)$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Этап 3.4

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$x^{2} y' + 2 \cdot y x$

Этап 3.4.2

Изменим порядок членов.

$x^{2} y' + 2 x y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- x \sin (y) y' + y' + \cos (y) = x^{2} y' + 2 x y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Изменим порядок множителей в $- x \sin (y) y' + y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) + y' + \cos (y) = x^{2} y' + 2 x y$

Этап 5.2

Вычтем $x^{2} y'$ из обеих частей уравнения.

$- x y' \sin (y) + y' + \cos (y) - x^{2} y' = 2 x y$

Этап 5.3

Вычтем $\cos (y)$ из обеих частей уравнения.

$- x y' \sin (y) + y' - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $- x y' \sin (y) + y' - x^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $- x y' \sin (y)$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

Этап 5.4.2

Возведем $y'$ в степень $1$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' \cdot 1 - x^{2} y' = 2 x y - \cos (y)$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $y'$ из $- x^{2} y'$ .

$y' (- x \sin (y)) + y' \cdot 1 + y' (- x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- x \sin (y)) + y' \cdot 1$ .

$y' (- x \sin (y) + 1) + y' (- x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$

Этап 5.4.6

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- x \sin (y) + 1) + y' (- x^{2})$ .

$y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$ на $- x \sin (y) + 1 - x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2}) = 2 x y - \cos (y)$ на $- x \sin (y) + 1 - x^{2}$ .

$\frac{y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2})}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $- x \sin (y) + 1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- x \sin (y) + 1 - x^{2})}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} + \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 x y}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}} - \frac{\cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Этап 5.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- x \sin (y) + 1 - x^{2}}$

Этап 5.5.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x \sin (y)$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y)) + 1 - x^{2}}$

Этап 5.5.3.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y)) - 1 (- 1) - x^{2}}$

Этап 5.5.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \sin (y)) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y) - 1) - x^{2}}$

Этап 5.5.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y) - 1) - (x^{2})}$

Этап 5.5.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \sin (y) - 1) - (x^{2})$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- (x \sin (y) - 1 + x^{2})}$

Этап 5.5.3.8

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.8.1

Перепишем $- (x \sin (y) - 1 + x^{2})$ в виде $- 1 (x \sin (y) - 1 + x^{2})$ .

$y' = \frac{2 x y - \cos (y)}{- 1 (x \sin (y) - 1 + x^{2})}$

Этап 5.5.3.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 x y - \cos (y)}{x \sin (y) - 1 + x^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y - \cos (y)}{x \sin (y) - 1 + x^{2}}$