Математический анализ Примеры

$y = \frac{x + 1}{5 x - 1}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + 1}{5 x - 1})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = 5 x - 1$ .

$\frac{(5 x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(5 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(5 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(5 x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(5 x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.4.2

Умножим $5 x - 1$ на $1$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 1]}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.5

По правилу суммы производная $5 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.8

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (5 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) (5 + 0)}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.10.1

Добавим $5$ и $0$ .

$\frac{5 x - 1 - (x + 1) \cdot 5}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.10.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{5 x - 1 - 5 (x + 1)}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x - 1 - 5 x - 5 \cdot 1}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим противоположные члены в $5 x - 1 - 5 x - 5 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Вычтем $5 x$ из $5 x$ .

$\frac{0 - 1 - 5 \cdot 1}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1 - 5 \cdot 1}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{- 1 - 5}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2.3

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$\frac{- 6}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{6}{{(5 x - 1)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{{(5 x - 1)}^{2}}$