Математический анализ Примеры

$y = 2 x^{- 3} - 4 x^{- 2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{- 3} - 4 x^{- 2})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x^{- 3} - 4 x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{- 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{- 3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Этап 3.2.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{- 2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 6 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$- 6 x^{- 4} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Этап 3.3.3

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$- 6 x^{- 4} + 8 x^{- 3}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок членов.

$8 x^{- 3} - 6 x^{- 4}$

Этап 3.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{3}} - 6 x^{- 4}$

Этап 3.4.2.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} - 6 x^{- 4}$

Этап 3.4.2.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} - 6 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 3.4.2.4

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} + \frac{- 6}{x^{4}}$

Этап 3.4.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{8}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{8}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$