Математический анализ Примеры

$y = 2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 5 x + 3 x^{- 2} + 4 x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Этап 3.3.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$4 x - 5 + \frac{d}{d x} [3 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{- 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{- 2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$4 x - 5 + 3 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$4 x - 5 + 3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Этап 3.4.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{- 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{- 3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} + 4 (- 3 x^{- 4})$

Этап 3.5.3

Умножим $- 3$ на $4$ .

$4 x - 5 - 6 x^{- 3} - 12 x^{- 4}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 5 - 6 \frac{1}{x^{3}} - 12 x^{- 4}$

Этап 3.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 5 - 6 \frac{1}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 3.6.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x - 5 + \frac{- 6}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 3.6.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} - 12 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 3.6.3.3

Объединим $- 12$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} + \frac{- 12}{x^{4}}$

Этап 3.6.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 x - 5 - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}}$

Этап 3.6.4

Изменим порядок членов.

$4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x - \frac{6}{x^{3}} - \frac{12}{x^{4}} - 5$