Математический анализ Примеры

$y = 4 \arcsin (2 x^{3})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (4 \arcsin (2 x^{3}))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \arcsin (2 x^{3})$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\arcsin (2 x^{3})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\arcsin (2 x^{3})]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arcsin (x)$ и $g (x) = 2 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{3}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Этап 3.2.2

Производная $\arcsin (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x^{3})}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x^{3}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Этап 3.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило умножения к $2 (x^{3})$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 {(x^{3})}^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Этап 3.3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{3 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Этап 3.3.2.1.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{6})}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 (\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}])$

Этап 3.3.2.2

Объединим $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ и $4$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 3.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Объединим $2$ и $\frac{4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} (3 x^{2})$

Этап 3.3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Объединим $3$ и $\frac{8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} x^{2}$

Этап 3.3.6.2

Умножим $3$ на $8$ .

$\frac{24}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}} x^{2}$

Этап 3.3.6.3

Объединим $\frac{24}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{24 x^{2}}{\sqrt{1 - 4 x^{6}}}$