Математический анализ Примеры

$y = 5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $5 \cos^{- 4} (x) + \sin (x) \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 \cos^{- 4} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \cos^{- 4} (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{- 4} (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 4}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$5 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 3.2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$5 (- 4 \cos^{- 5} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 3.2.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$5 (4 \cos^{- 5} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 3.2.5

Умножим $4$ на $5$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Этап 3.3.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Этап 3.3.5

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x)$

Этап 3.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)$

Этап 3.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Этап 3.3.8

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Этап 3.3.9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Этап 3.3.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Этап 3.3.11

Добавим $1$ и $1$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок $- \sin^{2} (x)$ и $\cos^{2} (x)$ .

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Этап 3.4.2

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$20 \cos^{- 5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Этап 3.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Этап 3.4.3.2

Объединим $20$ и $\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ .

$\frac{20}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Этап 3.4.3.3

Умножим на $1$ .

$\frac{20}{\cos^{5} (x) \cdot 1} \sin (x) + \cos (2 x)$

Этап 3.4.3.4

Разделим дроби.

$\frac{20}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{5} (x)} \sin (x) + \cos (2 x)$

Этап 3.4.3.5

Переведем $\frac{1}{\cos^{5} (x)}$ в $\sec^{5} (x)$ .

$\frac{20}{1} \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Этап 3.4.3.6

Разделим $20$ на $1$ .

$20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 20 \sec^{5} (x) \sin (x) + \cos (2 x)$