Математический анализ Примеры

$y = e^{7 - (\frac{5}{x})}$

Этап 1

Умножим $- 1$ на $\frac{5}{x}$ .

$y = e^{7 - \frac{5}{x}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{7 - \frac{5}{x}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 7 - \frac{5}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 - \frac{5}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 - \frac{5}{x}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [7 - \frac{5}{x}]$

Этап 4.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

По правилу суммы производная $7 - \frac{5}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

Этап 4.2.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}])$

Этап 4.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 4.2.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5}{x}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 4.2.5

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Этап 4.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (- 5 (- x^{- 2}))$

Этап 4.2.7

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 x^{- 2})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} (5 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 4.3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{7 - \frac{5}{x}} \frac{5}{x^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Объединим $e^{7 - \frac{5}{x}}$ и $\frac{5}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{7 - \frac{5}{x}} \cdot 5}{x^{2}}$

Этап 4.3.2.3

Перенесем $5$ влево от $e^{7 - \frac{5}{x}}$ .

$\frac{5 e^{7 - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

Этап 4.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{5 e^{\frac{7 x}{x} - \frac{5}{x}}}{x^{2}}$

Этап 4.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 e^{\frac{7 x - 5}{x}}}{x^{2}}$