Математический анализ Примеры

$y = \frac{\ln (4 x)}{9 x}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (4 x)}{9 x})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{\ln (4 x)}{9 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (4 x)}{x}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (4 x)}{x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (4 x)$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (4 x)] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $\frac{1}{4 x}$ и $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{x}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{x}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [4 x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{1}{4} (4 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.4.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{4}{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.4.3

Умножим $\frac{d}{d x} [x]$ на $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 - \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 - \ln (4 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 3.4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 - \ln (4 x)}{x^{2}}$

Этап 3.4.7.2

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{1 - \ln (4 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (4 x)}{9 x^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{1 - \ln (4 x)}{9 x^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - \ln (4 x)}{9 x^{2}}$