Математический анализ Примеры

$y = x^{- \frac{8}{9}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{- \frac{8}{9}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9} x^{- \frac{8}{9} - 1}$

Этап 3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{8}{9} x^{- \frac{8}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}$

Этап 3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{8}{9} x^{- \frac{8}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{8}{9} x^{\frac{- 8 - 1 \cdot 9}{9}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$- \frac{8}{9} x^{\frac{- 8 - 9}{9}}$

Этап 3.5.2

Вычтем $9$ из $- 8$ .

$- \frac{8}{9} x^{\frac{- 17}{9}}$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{9} x^{- \frac{17}{9}}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{x^{\frac{17}{9}}}$

Этап 3.7.2

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{17}{9}}}$ на $\frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{x^{\frac{17}{9}} \cdot 9}$

Этап 3.7.3

Перенесем $9$ влево от $x^{\frac{17}{9}}$ .

$- \frac{8}{9 x^{\frac{17}{9}}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{8}{9 x^{\frac{17}{9}}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8}{9 x^{\frac{17}{9}}}$