Математический анализ Примеры

$y = \frac{x}{\sqrt{x - 1}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{1}}$

Этап 4.3

Упростим.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Этап 4.4.2

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Этап 4.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Этап 4.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Этап 4.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Этап 4.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Этап 4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Этап 4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Этап 4.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Этап 4.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Этап 4.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Этап 4.10.3

Перенесем ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

Этап 4.10.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]}{x - 1}$

Этап 4.11

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{x - 1}$

Этап 4.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{x - 1}$

Этап 4.13

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - 1}$

Этап 4.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 1}$

Этап 4.14.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Этап 4.15

Чтобы записать ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Этап 4.16

Объединим ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Этап 4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Этап 4.18

Умножим ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Перенесем ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Этап 4.18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Этап 4.18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Этап 4.18.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Этап 4.18.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Этап 4.19

Упростим ${(x - 1)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{\frac{(x - 1) \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Этап 4.20

Перенесем $2$ влево от $x - 1$ .

$\frac{\frac{2 \cdot (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

Этап 4.21

Перепишем $\frac{\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$ в виде произведения.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Этап 4.22

Умножим $\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}$

Этап 4.23

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.24

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 4.25

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 4.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 4.27

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.28

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.28.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.28.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.28.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.28.2.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$\frac{x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$