Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{\sec (8 x)}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\sec (8 x)}$ в виде ${\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \sec (8 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (8 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (8 x)$ .

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

Этап 4.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

Этап 4.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

Этап 4.6.3

Перенесем ${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (8 x)]$

Этап 4.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $8 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])$

Этап 4.7.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])$

Этап 4.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $8 x$ .

$\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\sec (8 x) \tan (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Этап 4.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Объединим $\sec (8 x)$ и $\frac{1}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (8 x)}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} (\tan (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

Этап 4.8.2

Объединим $\tan (8 x)$ и $\frac{\sec (8 x)}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (8 x) \sec (8 x)}{2 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 4.8.3

Перенесем ${\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\tan (8 x) \sec (8 x) {\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 4.9

Умножим $\sec (8 x)$ на ${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Перенесем ${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\tan (8 x) ({\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec (8 x))}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 4.9.2

Умножим ${\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}}$ на $\sec (8 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Возведем $\sec (8 x)$ в степень $1$ .

$\frac{\tan (8 x) ({\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2}} \sec^{1} (8 x))}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 4.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 4.9.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 4.9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 4.9.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 4.10

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Объединим $8$ и $\frac{\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 (\tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.11.2

Вынесем множитель $2$ из $8 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}}{1} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.12.4

Разделим $4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 4.14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.14.1

Умножим $4$ на $1$ .

$4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.14.2

Изменим порядок множителей в $4 \tan (8 x) {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (8 x)$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 4 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (8 x)$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 {\sec (8 x)}^{\frac{1}{2}} \tan (8 x)$