Математический анализ Примеры

$y = \frac{5 x^{2} - 9 x + 13}{2 x + 4}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x^{2} - 9 x + 13}{2 x + 4})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 13$ и $g (x) = 2 x + 4$ .

$\frac{(2 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 9 x + 13] - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 9 x + 13$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$\frac{(2 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(2 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(2 x + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.5

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.7

Умножим $- 9$ на $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.8

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + 0) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.9

Добавим $10 x - 9$ и $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.10

По правилу суммы производная $2 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.11

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.13

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (2 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.14

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (2 + 0)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.15.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \cdot 2}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.15.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2} - 9 x + 13)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Развернем $(2 x + 4) (10 x - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (10 x - 9) + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \cdot 10 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 \cdot 10 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 \cdot 10 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2.1.3

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{20 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2.1.4

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2.1.5

Умножим $10$ на $4$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2.1.6

Умножим $4$ на $- 9$ .

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Добавим $- 18 x$ и $40 x$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $5$ на $- 2$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.4

Умножим $- 9$ на $- 2$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.1.5

Умножим $- 2$ на $13$ .

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 26}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $10 x^{2}$ из $20 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 22 x - 36 + 18 x - 26}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.3

Добавим $22 x$ и $18 x$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 36 - 26}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.2.4

Вычтем $26$ из $- 36$ .

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 62}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $10 x^{2} + 40 x - 62$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $10 x^{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 40 x - 62}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $40 x$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) - 62}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $- 62$ .

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) + 2 (- 31)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (5 x^{2}) + 2 (20 x)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 31)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 31)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{{(2 (x) + 4)}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{{(2 x + 2 \cdot 2)}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{{(2 (x + 2))}^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Применим правило умножения к $2 (x + 2)$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{2^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.4.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{4 {(x + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

Этап 3.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

Этап 3.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x^{2} + 20 x - 31}{2 {(x + 2)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{5 x^{2} + 20 x - 31}{2 {(x + 2)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} + 20 x - 31}{2 {(x + 2)}^{2}}$