Математический анализ Примеры

$y = x^{3} {(2 x - 1)}^{5}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} {(2 x - 1)}^{5})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = {(2 x - 1)}^{5}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}] + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 1$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x^{3} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 1$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} (2 + 0)) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$x^{3} (5 {(2 x - 1)}^{4} \cdot 2) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.6.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4}) + {(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4}) + {(2 x - 1)}^{5} (3 x^{2})$

Этап 3.3.8

Перенесем $3$ влево от ${(2 x - 1)}^{5}$ .

$x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4}) + 3 \cdot {(2 x - 1)}^{5} x^{2}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $x^{2} {(2 x - 1)}^{4}$ из $x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4}) + 3 {(2 x - 1)}^{5} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $x^{2} {(2 x - 1)}^{4}$ из $x^{3} (10 {(2 x - 1)}^{4})$ .

$x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (x \cdot (10)) + 3 {(2 x - 1)}^{5} x^{2}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $x^{2} {(2 x - 1)}^{4}$ из $3 {(2 x - 1)}^{5} x^{2}$ .

$x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (x \cdot (10)) + x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (3 (2 x - 1))$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $x^{2} {(2 x - 1)}^{4}$ из $x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (x \cdot (10)) + x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (3 (2 x - 1))$ .

$x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (x \cdot (10) + 3 (2 x - 1))$

Этап 3.4.2

Перенесем $10$ влево от $x$ .

$x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (10 x + 3 (2 x - 1))$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (10 x + 3 (2 x - 1))$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} {(2 x - 1)}^{4} (10 x + 3 (2 x - 1))$