Математический анализ Примеры

$y = \ln (\tan (x))$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\tan (x)))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3.4

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3.5

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\cot (x) \sec^{2} (x)$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Изменим порядок множителей в $\cot (x) \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \cot (x)$

Этап 3.6.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cot (x)$

Этап 3.6.3

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.6.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.6.5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.6.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.6.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 3.6.6

Умножим $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 3.6.7

Разделим дроби.

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 3.6.8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{1^{2}}{\sin (x)} \sec (x)$

Этап 3.6.9

Разделим дроби.

$\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sec (x)$

Этап 3.6.10

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{1^{2}}{1} \csc (x) \sec (x)$

Этап 3.6.11

Разделим $1^{2}$ на $1$ .

$1^{2} \csc (x) \sec (x)$

Этап 3.6.12

Единица в любой степени равна единице.

$1 \csc (x) \sec (x)$

Этап 3.6.13

Умножим $\csc (x)$ на $1$ .

$\csc (x) \sec (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \csc (x) \sec (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \sec (x)$