Математический анализ Примеры

$y = \ln (x^{6} (x^{9} - x + 5))$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{6} (x^{9} - x + 5)))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{6} (x^{9} - x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} \frac{d}{d x} [x^{6} (x^{9} - x + 5)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = x^{9} - x + 5$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} \frac{d}{d x} [x^{9} - x + 5] + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $x^{9} - x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 3.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 3.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 3.3.6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1 + 0) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 3.3.7

Добавим $9 x^{8} - 1$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + (x^{9} - x + 5) \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Этап 3.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + (x^{9} - x + 5) (6 x^{5}))$

Этап 3.3.9

Перенесем $6$ влево от $x^{9} - x + 5$ .

$\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + 6 \cdot (x^{9} - x + 5) x^{5})$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8} - 1) + 6 (x^{9} - x + 5) x^{5})$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 (x^{9} - x + 5) x^{5})$

Этап 3.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + (6 x^{9} + 6 (- x) + 6 \cdot 5) x^{5})$

Этап 3.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Умножим $x^{6}$ на $x^{9}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x^{6 + 9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.1.2

Добавим $6$ и $9$ .

$\frac{1}{x^{15} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.2

Умножим $x^{6}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{1}{x^{15} + x \cdot x^{6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.2.2

Умножим $x$ на $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x^{15} + x^{1} x^{6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x^{15} + x^{1 + 6} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.2.3

Добавим $1$ и $6$ .

$\frac{1}{x^{15} + x^{7} \cdot - 1 + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.3

Перенесем $- 1$ влево от $x^{7}$ .

$\frac{1}{x^{15} - 1 \cdot x^{7} + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.4

Перепишем $- 1 x^{7}$ в виде $- x^{7}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + x^{6} \cdot 5} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.5

Перенесем $5$ влево от $x^{6}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 \cdot x^{6}} (x^{6} (9 x^{8}) + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.6

Умножим $x^{6}$ на $x^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.6.1

Перенесем $x^{8}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{8} x^{6} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{8 + 6} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.6.3

Добавим $8$ и $6$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (x^{14} \cdot 9 + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.7

Перенесем $9$ влево от $x^{14}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 \cdot x^{14} + x^{6} \cdot - 1 + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.8

Перенесем $- 1$ влево от $x^{6}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - 1 \cdot x^{6} + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.9

Перепишем $- 1 x^{6}$ в виде $- x^{6}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{9} x^{5} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.10

Умножим $x^{9}$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.10.1

Перенесем $x^{5}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 (x^{5} x^{9}) + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.10.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{5 + 9} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.10.3

Добавим $5$ и $9$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} + 6 (- x) x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.11

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x \cdot x^{5} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.12

Умножим $x$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.12.1

Перенесем $x^{5}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 (x^{5} x) + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.12.2

Умножим $x^{5}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.12.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 (x^{5} x^{1}) + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{5 + 1} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.12.3

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{6} + 6 \cdot 5 x^{5})$

Этап 3.4.5.13

Умножим $6$ на $5$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (9 x^{14} - x^{6} + 6 x^{14} - 6 x^{6} + 30 x^{5})$

Этап 3.4.5.14

Добавим $9 x^{14}$ и $6 x^{14}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - x^{6} - 6 x^{6} + 30 x^{5})$

Этап 3.4.5.15

Вычтем $6 x^{6}$ из $- x^{6}$ .

$\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5})$

Этап 3.4.6

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}} (15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5})$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}}$

Этап 3.4.7

Вынесем множитель $x^{6}$ из $x^{15} - x^{7} + 5 x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Вынесем множитель $x^{6}$ из $x^{15}$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} - x^{7} + 5 x^{6}}$

Этап 3.4.7.2

Вынесем множитель $x^{6}$ из $- x^{7}$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + 5 x^{6}}$

Этап 3.4.7.3

Вынесем множитель $x^{6}$ из $5 x^{6}$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} x^{9} + x^{6} (- x) + x^{6} \cdot 5}$

Этап 3.4.7.4

Вынесем множитель $x^{6}$ из $x^{6} x^{9} + x^{6} (- x)$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} (x^{9} - x) + x^{6} \cdot 5}$

Этап 3.4.7.5

Вынесем множитель $x^{6}$ из $x^{6} (x^{9} - x) + x^{6} \cdot 5$ .

$(15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}) \frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Этап 3.4.8

Умножим $15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}$ на $\frac{1}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$ .

$\frac{15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Этап 3.4.9

Вынесем множитель $x^{5}$ из $15 x^{14} - 7 x^{6} + 30 x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Вынесем множитель $x^{5}$ из $15 x^{14}$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) - 7 x^{6} + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Этап 3.4.9.2

Вынесем множитель $x^{5}$ из $- 7 x^{6}$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x) + 30 x^{5}}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Этап 3.4.9.3

Вынесем множитель $x^{5}$ из $30 x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 30}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Этап 3.4.9.4

Вынесем множитель $x^{5}$ из $x^{5} (15 x^{9}) + x^{5} (- 7 x)$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x) + x^{5} \cdot 30}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Этап 3.4.9.5

Вынесем множитель $x^{5}$ из $x^{5} (15 x^{9} - 7 x) + x^{5} \cdot 30$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{6} (x^{9} - x + 5)}$

Этап 3.4.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Вынесем множитель $x^{5}$ из $x^{6} (x^{9} - x + 5)$ .

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{5} (x (x^{9} - x + 5))}$

Этап 3.4.10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{5} (15 x^{9} - 7 x + 30)}{x^{5} (x (x^{9} - x + 5))}$

Этап 3.4.10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{15 x^{9} - 7 x + 30}{x (x^{9} - x + 5)}$