Математический анализ Примеры

$y = \ln (\sqrt{x})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\frac{1}{2}}))$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 4.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 4.9

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Этап 4.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.11.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 4.11.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Этап 4.11.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.11.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}}$

Этап 4.11.2

Упростим $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{1}{2 x}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x}$