Математический анализ Примеры

$y = \tan (\cos (x))$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (\cos (x)))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Изменим порядок множителей в $\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$ .

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Этап 3.3.2

Выразим $\sec (\cos (x))$ через синусы и косинусы.

$- {(\frac{1}{\cos (\cos (x))})}^{2} \sin (x)$

Этап 3.3.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ .

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

Этап 3.3.4

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

Этап 3.3.5

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (\cos (x))}$

Этап 3.3.6

Вынесем множитель $\cos (\cos (x))$ из $\cos^{2} (\cos (x))$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x)) \cos (\cos (x))}$

Этап 3.3.7

Разделим дроби.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))})$

Этап 3.3.8

Перепишем $\frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))}$ в виде произведения.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Этап 3.3.9

Запишем $\sin (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Этап 3.3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.10.1

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Этап 3.3.10.2

Переведем $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ в $\sec (\cos (x))$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

Этап 3.3.11

Переведем $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ в $\sec (\cos (x))$ .

$- (\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

Этап 3.3.12

Умножим $\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.12.1

Возведем $\sec (\cos (x))$ в степень $1$ .

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec (\cos (x)) \sin (x))$

Этап 3.3.12.2

Возведем $\sec (\cos (x))$ в степень $1$ .

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec^{1} (\cos (x)) \sin (x))$

Этап 3.3.12.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- ({\sec (\cos (x))}^{1 + 1} \sin (x))$

Этап 3.3.12.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- (\sec^{2} (\cos (x)) \sin (x))$

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$