Математический анализ Примеры

y = \sec (\tan (x))

$y = \sec (\tan (x))$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sec (\tan (x)))

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sec (\tan (x)))$

Этап 2

Производная

y

$y$ по

x

$x$ равна

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , где

f (x) = \sec (x)

$f (x) = \sec (x)$ и

g (x) = \tan (x)

$g (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим

u

$u$ как

\tan (x)

$\tan (x)$ .

\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3.1.2

Производная

\sec (u)

$\sec (u)$ по

u

$u$ равна

\sec (u) \tan (u)

$\sec (u) \tan (u)$ .

\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\tan (x)]

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения

u

$u$ на

\tan (x)

$\tan (x)$ .

\sec (\tan (x)) \tan (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]

$\sec (\tan (x)) \tan (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

\sec (\tan (x)) \tan (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]

$\sec (\tan (x)) \tan (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3.2

Производная

\tan (x)

$\tan (x)$ по

x

$x$ равна

\sec^{2} (x)

$\sec^{2} (x)$ .

\sec (\tan (x)) \tan (\tan (x)) \sec^{2} (x)

$\sec (\tan (x)) \tan (\tan (x)) \sec^{2} (x)$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в

\sec (\tan (x)) \tan (\tan (x)) \sec^{2} (x)

$\sec (\tan (x)) \tan (\tan (x)) \sec^{2} (x)$ .

\sec^{2} (x) \sec (\tan (x)) \tan (\tan (x))

$\sec^{2} (x) \sec (\tan (x)) \tan (\tan (x))$

\sec^{2} (x) \sec (\tan (x)) \tan (\tan (x))

$\sec^{2} (x) \sec (\tan (x)) \tan (\tan (x))$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

y' = \sec^{2} (x) \sec (\tan (x)) \tan (\tan (x))

$y' = \sec^{2} (x) \sec (\tan (x)) \tan (\tan (x))$

Этап 5

Заменим

y'

$y'$ на

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ .

\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) \sec (\tan (x)) \tan (\tan (x))

$\frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x) \sec (\tan (x)) \tan (\tan (x))$