Математический анализ Примеры

$y = 5 \cos (x) \tan (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 \cos (x) \tan (x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \cos (x) \tan (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \tan (x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \sin (x)))$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (\cos (x) \sec^{2} (x)) + 5 (\tan (x) (- \sin (x)))$

Этап 3.5.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$5 \cos (x) \sec^{2} (x) - 5 \tan (x) \sin (x)$

Этап 3.5.3

Изменим порядок членов.

$5 \sec^{2} (x) \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Этап 3.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Этап 3.5.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Этап 3.5.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Этап 3.5.4.4

Объединим $5$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Этап 3.5.4.5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.5.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Этап 3.5.4.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - 5 \sin (x) \tan (x)$

Этап 3.5.4.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \tan (x)$

Этап 3.5.4.6

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{5}{\cos (x)} - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.5.4.7

Умножим $- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.7.1

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $- 5$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x)$

Этап 3.5.4.7.2

Объединим $\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.5.4.7.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Этап 3.5.4.7.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

Этап 3.5.4.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Этап 3.5.4.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.5.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{\cos (x)} - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.5.6

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.5.7

Вынесем множитель $5$ из $- 5 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Этап 3.5.8

Вынесем множитель $5$ из $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Этап 3.5.9

Применим формулу Пифагора.

$\frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.5.10

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ и $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.10.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $5 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)}$

Этап 3.5.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.10.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Этап 3.5.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Этап 3.5.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 \cos (x)}{1}$

Этап 3.5.10.2.4

Разделим $5 \cos (x)$ на $1$ .

$5 \cos (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 5 \cos (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 \cos (x)$