Математический анализ Примеры

$y = 6 x^{7} \cos (x)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x^{7} \cos (x))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{7} \cos (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{7} \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{7} \cos (x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (x^{7} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$6 (x^{7} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$6 (x^{7} (- \sin (x)) + \cos (x) (7 x^{6}))$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{7} (- \sin (x))) + 6 (\cos (x) (7 x^{6}))$

Этап 3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 (x^{7} (\sin (x))) + 6 (\cos (x) (7 x^{6}))$

Этап 3.5.2.2

Умножим $7$ на $6$ .

$- 6 x^{7} \sin (x) + 42 \cos (x) x^{6}$

Этап 3.5.3

Изменим порядок членов.

$- 6 x^{7} \sin (x) + 42 x^{6} \cos (x)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - 6 x^{7} \sin (x) + 42 x^{6} \cos (x)$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{7} \sin (x) + 42 x^{6} \cos (x)$