Математический анализ Примеры

$y = 19 z^{2} + \frac{1}{5 z}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (19 z^{2} + \frac{1}{5 z})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $19 z^{2} + \frac{1}{5 z}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [19 z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$ .

$\frac{d}{d y} [19 z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [19 z^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $19$ является константой относительно $y$ , производная $19 z^{2}$ по $y$ равна $19 \frac{d}{d y} [z^{2}]$ .

$19 \frac{d}{d y} [z^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $z$ .

$19 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$19 (2 u \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $z$ .

$19 (2 z \frac{d}{d y} [z]) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [z]$ в виде $z'$ .

$19 (2 z z') + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Этап 3.2.4

Умножим $2$ на $19$ .

$38 z z' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{1}{5 z}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{5 z}$ по $y$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{z}]$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{z}]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = 1$ и $g (y) = z$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [z]}{z^{2}}$

Этап 3.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [z]}{z^{2}}$

Этап 3.3.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [z]$ в виде $z'$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{z \cdot 0 - 1 \cdot 1 z'}{z^{2}}$

Этап 3.3.5

Умножим $z$ на $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 1 z'}{z^{2}}$

Этап 3.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{0 - z'}{z^{2}}$

Этап 3.3.7

Вычтем $z'$ из $0$ .

$38 z z' + \frac{1}{5} \cdot \frac{- z'}{z^{2}}$

Этап 3.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$38 z z' + \frac{1}{5} (- \frac{z'}{z^{2}})$

Этап 3.3.9

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{z'}{z^{2}}$ .

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = 38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}}$

Этап 5

Решим относительно $z'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ .

$38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, 5 z^{2}, 1$

Этап 5.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$5 z^{2}$

Этап 5.3

Каждый член в $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ умножим на $5 z^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $38 z z' - \frac{z'}{5 z^{2}} = 1$ на $5 z^{2}$ .

$38 z z' (5 z^{2}) - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Умножим $z$ на $z^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Перенесем $z^{2}$ .

$38 (z^{2} z) z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Этап 5.3.2.1.1.2

Умножим $z^{2}$ на $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.2.1

Возведем $z$ в степень $1$ .

$38 (z^{2} z^{1}) z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Этап 5.3.2.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$38 z^{2 + 1} z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Этап 5.3.2.1.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$38 z^{3} z' \cdot 5 - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $5$ на $38$ .

$190 z^{3} z' - \frac{z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Этап 5.3.2.1.3

Сократим общий множитель $5 z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{z'}{5 z^{2}}$ в числитель.

$190 z^{3} z' + \frac{- z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Этап 5.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$190 z^{3} z' + \frac{- z'}{5 z^{2}} (5 z^{2}) = 1 (5 z^{2})$

Этап 5.3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$190 z^{3} z' - z' = 1 (5 z^{2})$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $5 z^{2}$ на $1$ .

$190 z^{3} z' - z' = 5 z^{2}$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $z'$ из $190 z^{3} z' - z'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $z'$ из $190 z^{3} z'$ .

$z' (190 z^{3}) - z' = 5 z^{2}$

Этап 5.4.1.2

Вынесем множитель $z'$ из $- z'$ .

$z' (190 z^{3}) + z' \cdot - 1 = 5 z^{2}$

Этап 5.4.1.3

Вынесем множитель $z'$ из $z' (190 z^{3}) + z' \cdot - 1$ .

$z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$ на $190 z^{3} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $z' (190 z^{3} - 1) = 5 z^{2}$ на $190 z^{3} - 1$ .

$\frac{z' (190 z^{3} - 1)}{190 z^{3} - 1} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $190 z^{3} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{z' (190 z^{3} - 1)}{190 z^{3} - 1} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $z'$ на $1$ .

$z' = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$

Этап 6

Заменим $z'$ на $\frac{d z}{d y}$ .

$\frac{d z}{d y} = \frac{5 z^{2}}{190 z^{3} - 1}$