Математический анализ Примеры

$z = x^{\frac{3}{2}} (x + c e^{x})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}} (x + c e^{x}))$

Этап 2

Производная $z$ по $x$ равна $z'$ .

$z'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ и $g (x) = x + c e^{x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + c e^{x}] + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x + c e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c e^{x}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c e^{x}]) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [c e^{x}]) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3.2.3

Поскольку $c$ является константой относительно $x$ , производная $c e^{x}$ по $x$ равна $c \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c \frac{d}{d x} [e^{x}]) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Этап 3.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Этап 3.8.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 3.9

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (1 + c e^{x}) + (x + c e^{x}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + (x + c e^{x}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.10.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.10.3.2

Объединим $x$ и $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{x (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.10.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.10.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.10.3.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.10.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.10.3.7

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + c e^{x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.10.3.8

Объединим $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $c$ .

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c}{2} e^{x}$

Этап 3.10.3.9

Объединим $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} c}{2}$ и $e^{x}$ .

$x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

Этап 3.10.3.10

Чтобы записать $x^{\frac{3}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

Этап 3.10.3.11

Объединим $x^{\frac{3}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

Этап 3.10.3.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

Этап 3.10.3.13

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{2 \cdot x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

Этап 3.10.3.14

Добавим $2 x^{\frac{3}{2}}$ и $3 x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{3}{2}} (c e^{x}) + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2}$

Этап 3.10.4

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$z' = e^{x} x^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 5

Заменим $z'$ на $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = e^{x} x^{\frac{3}{2}} c + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} c e^{x}}{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$