Математический анализ Примеры

$y = x y + y^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x y + y^{3})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x y + y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2.4

Умножим $y$ на $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x y' + y + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x y' + y + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y + 3 y^{2} y'$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$x y' + 3 y^{2} y' + y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = x y' + 3 y^{2} y' + y$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $y'$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x y' + 3 y^{2} y' + y = y'$

Этап 5.2

Вычтем $y'$ из обеих частей уравнения.

$x y' + 3 y^{2} y' + y - y' = 0$

Этап 5.3

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x y' + 3 y^{2} y' - y' = - y$

Этап 5.4

Вынесем множитель $y'$ из $x y' + 3 y^{2} y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $y'$ из $x y'$ .

$y' x + 3 y^{2} y' - y' = - y$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y'$ из $3 y^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (3 y^{2}) - y' = - y$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (x) + y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - y$

Этап 5.4.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (x + 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - y$

Этап 5.4.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (x + 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x + 3 y^{2} - 1) = - y$

Этап 5.5

Разделим каждый член $y' (x + 3 y^{2} - 1) = - y$ на $x + 3 y^{2} - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $y' (x + 3 y^{2} - 1) = - y$ на $x + 3 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (x + 3 y^{2} - 1)}{x + 3 y^{2} - 1} = \frac{- y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $x + 3 y^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x + 3 y^{2} - 1)}{x + 3 y^{2} - 1} = \frac{- y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y}{x + 3 y^{2} - 1}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x + 3 y^{2} - 1}$