Математический анализ Примеры

$z = (t - 1) (t + 1)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d t} (z) = \frac{d}{d t} ((t - 1) (t + 1))$

Этап 2

Производная $z$ по $t$ равна $z'$ .

$z'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t - 1$ и $g (t) = t + 1$ .

$(t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1] + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $t + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Этап 3.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$(t - 1) (1 + 0) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(t - 1) \cdot 1 + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Этап 3.2.4.2

Умножим $t - 1$ на $1$ .

$t - 1 + (t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1]$

Этап 3.2.5

По правилу суммы производная $t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$t - 1 + (t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$t - 1 + (t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Этап 3.2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$t - 1 + (t + 1) (1 + 0)$

Этап 3.2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$t - 1 + (t + 1) \cdot 1$

Этап 3.2.8.2

Умножим $t + 1$ на $1$ .

$t - 1 + t + 1$

Этап 3.2.8.3

Добавим $t$ и $t$ .

$2 t - 1 + 1$

Этап 3.2.8.4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.4.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$2 t + 0$

Этап 3.2.8.4.2

Добавим $2 t$ и $0$ .

$2 t$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$z' = 2 t$

Этап 5

Заменим $z'$ на $\frac{d z}{d t}$ .

$\frac{d z}{d t} = 2 t$