Математический анализ Примеры

$z = \frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7})$

Этап 2

Производная $z$ по $x$ равна $z'$ .

$z'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{y + 3.7}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{\ln (3.4 x^{4} + 7.1)}{y + 3.7}$ по $x$ равна $\frac{1}{y + 3.7} \frac{d}{d x} [\ln (3.4 x^{4} + 7.1)]$ .

$\frac{1}{y + 3.7} \frac{d}{d x} [\ln (3.4 x^{4} + 7.1)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3.4 x^{4} + 7.1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3.4 x^{4} + 7.1$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3.4 x^{4} + 7.1$ .

$\frac{1}{y + 3.7} (\frac{1}{3.4 x^{4} + 7.1} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{1}{3.4 x^{4} + 7.1}$ на $\frac{1}{y + 3.7}$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} \frac{d}{d x} [3.4 x^{4} + 7.1]$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $3.4 x^{4} + 7.1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3.4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1]$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (\frac{d}{d x} [3.4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1])$

Этап 3.3.3

Поскольку $3.4$ является константой относительно $x$ , производная $3.4 x^{4}$ по $x$ равна $3.4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (3.4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7.1])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (3.4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7.1])$

Этап 3.3.5

Умножим $4$ на $3.4$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3} + \frac{d}{d x} [7.1])$

Этап 3.3.6

Поскольку $7.1$ является константой относительно $x$ , производная $7.1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3} + 0)$

Этап 3.3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Добавим $13.6 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} (13.6 x^{3})$

Этап 3.3.7.2

Объединим $13.6$ и $\frac{1}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$ .

$\frac{13.6}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)} x^{3}$

Этап 3.3.7.3

Объединим $\frac{13.6}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$ и $x^{3}$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{(3.4 x^{4} + 7.1) (y + 3.7)}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $0.1$ из $3.4 x^{4} + 7.1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $0.1$ из $3.4 x^{4}$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{(0.1 (34 x^{4}) + 7.1) (y + 3.7)}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $0.1$ из $7.1$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{(0.1 (34 x^{4}) + 0.1 (71)) (y + 3.7)}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 (34 x^{4}) + 0.1 (71)$ .

$\frac{13.6 x^{3}}{0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $13.6$ из $13.6 x^{3}$ .

$\frac{13.6 (x^{3})}{0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $0.1$ из $0.1 (34 x^{4} + 71) (y + 3.7)$ .

$\frac{13.6 (x^{3})}{0.1 ((34 x^{4} + 71) (y + 3.7))}$

Этап 3.4.4

Разделим дроби.

$\frac{13.6}{0.1} \cdot \frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Этап 3.4.5

Разделим $13.6$ на $0.1$ .

$136 \frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Этап 3.4.6

Объединим $136$ и $\frac{x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$ .

$\frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$z' = \frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$

Этап 5

Заменим $z'$ на $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{136 x^{3}}{(34 x^{4} + 71) (y + 3.7)}$