Математический анализ Примеры

$y = p^{\sqrt{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [p^{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя обобщенное правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ имеет вид $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , где $f = p$ и $g = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [p] (x^{\frac{1}{2}} p^{x^{\frac{1}{2}} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $p$ является константой относительно $x$ , производная $p$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 (x^{\frac{1}{2}} p^{x^{\frac{1}{2}} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Этап 3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $0$ .

$0 p^{x^{\frac{1}{2}} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Этап 3.2.2

Умножим $0$ на $p^{x^{\frac{1}{2}} - 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} (p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p))$

Этап 10

Объединим $p^{x^{\frac{1}{2}}}$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} \ln (p)$

Этап 11

Объединим $\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $\ln (p)$ .

$\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} \ln (p)}{2}$

Этап 12

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{p^{x^{\frac{1}{2}}} \ln (p)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$