Математический анализ Примеры

$y = \log_{5} (x^{6} + x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{5} (x)$ и $g (x) = x^{6} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{6} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [x^{6} + x]$

Этап 1.2

Производная $\log_{5} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{6} + x]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{6} + x$ .

$\frac{1}{(x^{6} + x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{6} + x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{6} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{6} + x) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{1}{(x^{6} + x) \ln (5)} (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{6} + x) \ln (5)} (6 x^{5} + 1)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{6} \ln (5) + x \ln (5)} (6 x^{5} + 1)$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{6} \ln (5) + x \ln (5)} (6 x^{5} + 1)$ .

$(6 x^{5} + 1) \frac{1}{x^{6} \ln (5) + x \ln (5)}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $x \ln (5)$ из $x^{6} \ln (5) + x \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x \ln (5)$ из $x^{6} \ln (5)$ .

$(6 x^{5} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{5}) + x \ln (5)}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $x \ln (5)$ из $x \ln (5)$ .

$(6 x^{5} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{5}) + x \ln (5) (1)}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $x \ln (5)$ из $x \ln (5) (x^{5}) + x \ln (5) (1)$ .

$(6 x^{5} + 1) \frac{1}{x \ln (5) (x^{5} + 1)}$

Этап 3.4

Умножим $6 x^{5} + 1$ на $\frac{1}{x \ln (5) (x^{5} + 1)}$ .

$\frac{6 x^{5} + 1}{x \ln (5) (x^{5} + 1)}$