Математический анализ Примеры

$y = e^{\ln (\sin (x))} \sin (x)$

Этап 1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) \sin (x)]$

Этап 2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{1} (x) \sin (x)]$

Этап 3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)]$

Этап 4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{1 + 1}]$

Этап 5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 7

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Изменим порядок множителей в $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 8.2

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Этап 8.3

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Этап 8.4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x)$