Математический анализ Примеры

$y = \arctan (4 x) + \ln (16 x^{2} + 1)$

Этап 1

По правилу суммы производная $\arctan (4 x) + \ln (16 x^{2} + 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Этап 2.1.2

Производная $\arctan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Этап 2.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{1}{1 + {(4 (x))}^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Этап 2.5

Применим правило умножения к $4 (x)$ .

$\frac{1}{1 + 4^{2} x^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Этап 2.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Этап 2.7

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Этап 2.8

Объединим $\frac{1}{1 + 16 x^{2}}$ и $4$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $16 x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $16 x^{2} + 1$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $16 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.3

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{2}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 (2 x) + 0)$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (32 x + 0)$

Этап 3.7

Добавим $32 x$ и $0$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (32 x)$

Этап 3.8

Объединим $32$ и $\frac{1}{16 x^{2} + 1}$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{32}{16 x^{2} + 1} x$

Этап 3.9

Объединим $\frac{32}{16 x^{2} + 1}$ и $x$ .

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{32 x}{16 x^{2} + 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{16 x^{2} + 1} + \frac{32 x}{16 x^{2} + 1}$

Этап 4.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 + 32 x}{16 x^{2} + 1}$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{32 x + 4}{16 x^{2} + 1}$

Этап 4.3

Вынесем множитель $4$ из $32 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $32 x$ .

$\frac{4 (8 x) + 4}{16 x^{2} + 1}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (8 x) + 4 (1)}{16 x^{2} + 1}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (8 x) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (8 x + 1)}{16 x^{2} + 1}$