Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{x} \cos (\sqrt{x})$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (\sqrt{x})]$

Этап 1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \cos (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \cos (x^{\frac{1}{2}})$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})] + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 9.3

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 9.4

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} (- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 9.5

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 9.6

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 9.7

Перепишем это выражение.

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 10

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 11

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 12

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 13

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 14.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 16

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \cos (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 17

Объединим $\cos (x^{\frac{1}{2}})$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 18

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2}$