Математический анализ Примеры

$y = \frac{x}{2 x - 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Умножим $2 x - 1$ на $1$ .

$\frac{2 x - 1 - x \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 x - 1 - x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x - 1 - x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 x - 1 - x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 x - 1 - x (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 x - 1 - x (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2 x - 1 - x \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.8.3

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{0 - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.8.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.8.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$