Математический анализ Примеры

$y = x^{2} \sqrt{x} - \frac{5}{x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $x^{2} \sqrt{x} - \frac{5}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 2.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [x^{2 + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 2.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 2.2.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 2.7.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5}{x}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 5 (- x^{- 2})$

Этап 3.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{- 2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + 5 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Этап 4.3

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5}{x^{2}}$