Математический анализ Примеры

$y = \frac{x}{\arctan (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \arctan (x)$ .

$\frac{\arctan (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\arctan (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 2.2

Умножим $\arctan (x)$ на $1$ .

$\frac{\arctan (x) - x \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 3

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\arctan (x) - x \frac{1}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{1 + x^{2}}$ и $x$ .

$\frac{\arctan (x) - \frac{x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 5

Чтобы записать $\arctan (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{\arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 7

Перепишем $\frac{\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}}}{{\arctan (x)}^{2}}$ в виде произведения.

$\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{{\arctan (x)}^{2}}$

Этап 8

Умножим $\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{1 + x^{2}}$ на $\frac{1}{{\arctan (x)}^{2}}$ .

$\frac{\arctan (x) (1 + x^{2}) - x}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2} - x}{(1 + x^{2}) {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2} - x}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $\arctan (x)$ на $1$ .

$\frac{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2} - x}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 9.3.2

Изменим порядок множителей в $\arctan (x) + \arctan (x) x^{2} - x$ .

$\frac{\arctan (x) + x^{2} \arctan (x) - x}{1 {\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 9.4

Умножим ${\arctan (x)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{\arctan (x) + x^{2} \arctan (x) - x}{{\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$

Этап 9.5

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} \arctan (x) - x + \arctan (x)}{{\arctan (x)}^{2} + x^{2} {\arctan (x)}^{2}}$