Математический анализ Примеры

$e^{4 x} + e^{- x}$

Этап 1

Запишем $e^{4 x} + e^{- x}$ в виде функции.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $e^{4 x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.2.5

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.1.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 2.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 2.1.3.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 2.1.3.6

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 e^{4 x} - e^{- x}$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

Этап 3.2

Перенесем $- e^{- x}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

Этап 3.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Этап 3.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $\ln (4 e^{4 x})$ в виде $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

Этап 3.4.2

Развернем $\ln (e^{4 x})$ , вынося $4 x$ из логарифма.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Этап 3.4.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Этап 3.4.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

Этап 3.5

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Развернем $\ln (e^{- x})$ , вынося $- x$ из логарифма.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

Этап 3.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

Этап 3.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (4) + 4 x = - x$

Этап 3.6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $4 x$ и $x$ .

$\ln (4) + 5 x = 0$

Этап 3.7

Вычтем $\ln (4)$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - \ln (4)$

Этап 3.8

Разделим каждый член $5 x = - \ln (4)$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Разделим каждый член $5 x = - \ln (4)$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Этап 3.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

Этап 3.8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

Этап 3.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $- \frac{\ln (4)}{5}$ .

$- \frac{\ln (4)}{5}$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ в интервале $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{4 (- 1.27725887)} - e^{- (- 1.27725887)}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $4$ на $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{- 5.10903548} - e^{- (- 1.27725887)}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.27725887) = 4 (\frac{1}{e^{5.10903548}}) - e^{- (- 1.27725887)}$

Этап 6.2.1.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{e^{5.10903548}}$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{- (- 1.27725887)}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1.27725887$ .

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$ .

$\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

Этап 6.3

Упростим.

$- 3.56262674$

Этап 6.4

При $x = - 1.27725887$ производная имеет вид $- 3.56262674$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ .

Убывание на $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{4 (0.72274112)} - e^{- (0.72274112)}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $4$ на $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- (0.72274112)}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0.72274112$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- 0.72274112}$

Этап 7.2.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Этап 7.2.2

Окончательный ответ: $4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$ .

$4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

Этап 7.3

Упростим.

$71.55727104$

Этап 7.4

При $x = 0.72274112$ производная имеет вид $71.55727104$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ .

Возрастание в области $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$

Этап 9