Математический анализ Примеры

$y = x^{3} \cos (8 x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \cos (8 x^{2})$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (8 x^{2})] + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 8 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x^{2}$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$x^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x^{2}$ .

$x^{3} (- \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [8 x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} (- \sin (8 x^{2}) (8 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$x^{3} (- 8 \sin (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} (- 8 \sin (8 x^{2}) (2 x)) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $- 8$ .

$x^{3} (- 16 \sin (8 x^{2}) x) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{3} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{3} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 3} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 4.3

Добавим $1$ и $3$ .

$x^{4} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{4} (- 16 \sin (8 x^{2})) + \cos (8 x^{2}) (3 x^{2})$

Этап 6

Изменим порядок членов.

$- 16 x^{4} \sin (8 x^{2}) + 3 x^{2} \cos (8 x^{2})$