Математический анализ Примеры

$y = 4 \sin (x) \csc (x^{2})$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (x) \csc (x^{2})$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \csc (x^{2})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \csc (x^{2})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \csc (x^{2})$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})] + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$4 (\sin (x) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.2

Производная $\csc (u)$ по $u$ равна $- \csc (u) \cot (u)$ .

$4 (\sin (x) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$4 (\sin (x) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (\sin (x) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x) + \csc (x^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x) + \csc (x^{2}) \cos (x))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (\sin (x) (- 2 \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x)) + 4 (\csc (x^{2}) \cos (x))$

Этап 6.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$- 8 \sin (x) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x + 4 \csc (x^{2}) \cos (x)$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$- 8 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выразим $\cot (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$- 8 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Этап 6.4.2

Умножим $- 8 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $- 8$ и $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$x \frac{- 8 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Этап 6.4.2.2

Объединим $x$ и $\frac{- 8 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{x (- 8 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Этап 6.4.3

Перенесем $- 8$ влево от $x$ .

$\frac{- 8 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Этап 6.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Этап 6.4.5

Выразим $\csc (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Этап 6.4.6

Умножим $- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.6.1

Умножим $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ на $\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Этап 6.4.6.2

Возведем $\sin (x^{2})$ в степень $1$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Этап 6.4.6.3

Возведем $\sin (x^{2})$ в степень $1$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Этап 6.4.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Этап 6.4.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Этап 6.4.7

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ .

$- \frac{\sin (x) (8 x \cos (x^{2}))}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Этап 6.4.8

Перенесем $8$ влево от $\sin (x)$ .

$- \frac{8 \cdot \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$

Этап 6.4.9

Выразим $\csc (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + 4 \cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})}$

Этап 6.4.10

Умножим $4 \cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.10.1

Объединим $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ и $4$ .

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + \frac{4}{\sin (x^{2})} \cos (x)$

Этап 6.4.10.2

Объединим $\frac{4}{\sin (x^{2})}$ и $\cos (x)$ .

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Этап 6.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $\sin (x^{2})$ из $\sin^{2} (x^{2})$ .

$- \frac{8 \sin (x) x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Этап 6.5.2

Разделим дроби.

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x^{2})}) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Этап 6.5.3

Перепишем $\frac{\sin (x)}{\sin (x^{2})}$ в виде произведения.

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Этап 6.5.4

Запишем $\sin (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Этап 6.5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Этап 6.5.5.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ в $\csc (x^{2})$ .

$- (\frac{8 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Этап 6.5.6

Разделим дроби.

$- (\frac{8 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Этап 6.5.7

Переведем $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ в $\cot (x^{2})$ .

$- (\frac{8 x}{1} \cot (x^{2}) (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Этап 6.5.8

Разделим $8 x$ на $1$ .

$- (8 x \cot (x^{2}) (\sin (x) \csc (x^{2}))) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Этап 6.5.9

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 8 (x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2})) + \frac{4 \cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Этап 6.5.10

Разделим дроби.

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x^{2})}$

Этап 6.5.11

Перепишем $\frac{\cos (x)}{\sin (x^{2})}$ в виде произведения.

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})$

Этап 6.5.12

Запишем $\cos (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})})$

Этап 6.5.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.13.1

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (x^{2})})$

Этап 6.5.13.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ в $\csc (x^{2})$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + \frac{4}{1} (\cos (x) \csc (x^{2}))$

Этап 6.5.14

Разделим $4$ на $1$ .

$- 8 x \cot (x^{2}) \sin (x) \csc (x^{2}) + 4 \cos (x) \csc (x^{2})$