Математический анализ Примеры

$y = 25 x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)$

Этап 1

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25 x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} (x^{5} + 17)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ и $g (x) = x^{5} + 17$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{5} + 17] + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{5} + 17$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [17]$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [17]) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [17]) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Этап 3.3

Поскольку $17$ является константой относительно $x$ , производная $17$ относительно $x$ равна $0$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4} + 0) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Этап 3.4

Добавим $5 x^{4}$ и $0$ .

$25 (x^{\frac{1}{5}} (5 x^{4}) + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Этап 4

Умножим $x^{\frac{1}{5}}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $x^{4}$ .

$25 (x^{4} x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 (x^{4 + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Этап 4.3

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$25 (x^{4 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Этап 4.4

Объединим $4$ и $\frac{5}{5}$ .

$25 (x^{\frac{4 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$25 (x^{\frac{4 \cdot 5 + 1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $4$ на $5$ .

$25 (x^{\frac{20 + 1}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Этап 4.6.2

Добавим $20$ и $1$ .

$25 (x^{\frac{21}{5}} \cdot 5 + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Этап 5

Перенесем $5$ влево от $x^{\frac{21}{5}}$ .

$25 (5 \cdot x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{5}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Этап 10.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Этап 13

Перенесем $x^{- \frac{4}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + (x^{5} + 17) \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}} + x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$25 (5 x^{\frac{21}{5}}) + 25 (x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}) + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $5$ на $25$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 (x^{5} \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}) + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.2

Объединим $x^{5}$ и $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5}}{5 x^{\frac{4}{5}}} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.3

Перенесем $x^{\frac{4}{5}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5} x^{- \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.4

Умножим $x^{5}$ на $x^{- \frac{4}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5 - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.4.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.4.3

Объединим $5$ и $\frac{5}{5}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{5 \cdot 5 - 4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.4.5.1

Умножим $5$ на $5$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{25 - 4}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.4.5.2

Вычтем $4$ из $25$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{x^{\frac{21}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.5

Объединим $25$ и $\frac{x^{\frac{21}{5}}}{5}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{25 x^{\frac{21}{5}}}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.6

Вынесем множитель $5$ из $25 x^{\frac{21}{5}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.7.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5 (1)} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.7.2

Сократим общий множитель.

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 (5 x^{\frac{21}{5}})}{5 \cdot 1} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.7.3

Перепишем это выражение.

$125 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 x^{\frac{21}{5}}}{1} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.7.4

Разделим $5 x^{\frac{21}{5}}$ на $1$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + 25 (17 \frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}})$

Этап 14.3.8

Объединим $17$ и $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + 25 \frac{17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 14.3.9

Объединим $25$ и $\frac{17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{25 \cdot 17}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 14.3.10

Умножим $25$ на $17$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{425}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 14.3.11

Вынесем множитель $5$ из $425$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 14.3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.12.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{\frac{4}{5}}$ .

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 (x^{\frac{4}{5}})}$

Этап 14.3.12.2

Сократим общий множитель.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{5 \cdot 85}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 14.3.12.3

Перепишем это выражение.

$125 x^{\frac{21}{5}} + 5 x^{\frac{21}{5}} + \frac{85}{x^{\frac{4}{5}}}$

Этап 14.3.13

Добавим $125 x^{\frac{21}{5}}$ и $5 x^{\frac{21}{5}}$ .

$130 x^{\frac{21}{5}} + \frac{85}{x^{\frac{4}{5}}}$