Математический анализ Примеры

$y = 7 e^{x^{3} + 2} + \ln (x^{3} + 2)$

Этап 1

По правилу суммы производная $7 e^{x^{3} + 2} + \ln (x^{3} + 2)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 e^{x^{3} + 2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 e^{x^{3} + 2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 e^{x^{3} + 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 e^{x^{3} + 2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [e^{x^{3} + 2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [e^{x^{3} + 2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{3} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{3} + 2$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$7 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{3} + 2$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x^{3} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Этап 2.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} (3 x^{2} + 0)) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Этап 2.6

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$7 (e^{x^{3} + 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Этап 2.7

Умножим $3$ на $7$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 2)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{3} + 2$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{3} + 2$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{3} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (3 x^{2} + 0)$

Этап 3.5

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{1}{x^{3} + 2} (3 x^{2})$

Этап 3.6

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{3} + 2}$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{3}{x^{3} + 2} x^{2}$

Этап 3.7

Объединим $\frac{3}{x^{3} + 2}$ и $x^{2}$ .

$21 e^{x^{3} + 2} x^{2} + \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $21 e^{x^{3} + 2} x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{3} + 2}{x^{3} + 2}$ .

$\frac{21 e^{x^{3} + 2} x^{2} (x^{3} + 2)}{x^{3} + 2} + \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 2}$

Этап 4.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{21 e^{x^{3} + 2} x^{2} (x^{3} + 2) + 3 x^{2}}{x^{3} + 2}$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{3 x^{2} + 21 e^{x^{3} + 2} x^{2} (x^{3} + 2)}{x^{3} + 2}$