Математический анализ Примеры

$y = \ln (x^{2} - 4 x + 4)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} - 4 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4 x + 4$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4 x + 4$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 2.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4 + 0)$

Этап 2.7

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 4} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Этап 3.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 3.2.3

Перепишем многочлен.

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Этап 3.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $2 x - 4$ на $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 x - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $x - 2$ и ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $2 (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $x - 2$ из ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 2) \cdot 2}{(x - 2) (x - 2)}$

Этап 3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x - 2}$