Математический анализ Примеры

$y = \ln (\arctan (3 x^{4}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \arctan (3 x^{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\arctan (3 x^{4})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\arctan (3 x^{4})$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 2.2

Производная $\arctan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {(3 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + {(3 (x^{4}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $3 (x^{4})$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 3.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 x^{4 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{\arctan (3 x^{4})} (\frac{1}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{1}{1 + 9 x^{8}}$ на $\frac{1}{\arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.4

Объединим $3$ и $\frac{1}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} (4 x^{3})$

Этап 3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $4$ и $\frac{3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} x^{3}$

Этап 3.6.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})} x^{3}$

Этап 3.6.3

Объединим $\frac{12}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$ и $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{(1 + 9 x^{8}) \arctan (3 x^{4})}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{12 x^{3}}{1 \arctan (3 x^{4}) + 9 x^{8} \arctan (3 x^{4})}$

Этап 4.2

Умножим $\arctan (3 x^{4})$ на $1$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) + 9 x^{8} \arctan (3 x^{4})}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{12 x^{3}}{9 x^{8} \arctan (3 x^{4}) + \arctan (3 x^{4})}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $\arctan (3 x^{4})$ из $9 x^{8} \arctan (3 x^{4}) + \arctan (3 x^{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $\arctan (3 x^{4})$ из $9 x^{8} \arctan (3 x^{4})$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4})}$

Этап 4.4.2

Умножим на $1$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4}) \cdot 1}$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $\arctan (3 x^{4})$ из $\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8}) + \arctan (3 x^{4}) \cdot 1$ .

$\frac{12 x^{3}}{\arctan (3 x^{4}) (9 x^{8} + 1)}$