Математический анализ Примеры

$y = \ln (| \sec (x) |)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = | \sec (x) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $| \sec (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \sec (x) |]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \sec (x) |]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $| \sec (x) |$ .

$\frac{1}{| \sec (x) |} \frac{d}{d x} [| \sec (x) |]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sec (x)$ .

$\frac{1}{| \sec (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.2

Производная $| u_{2} |$ по $u_{2}$ равна $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \sec (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (x)$ .

$\frac{1}{| \sec (x) |} (\frac{\sec (x)}{| \sec (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3

Умножим $\frac{\sec (x)}{| \sec (x) |}$ на $\frac{1}{| \sec (x) |}$ .

$\frac{\sec (x)}{| \sec (x) | | \sec (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 4

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{\sec (x)}{| \sec (x) \sec (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 5

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec (x)}{| \sec^{1} (x) \sec (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 6

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec (x)}{| \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sec (x)}{| {\sec (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sec (x)}{| \sec^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 9

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x)}{| \sec^{2} (x) |} (\sec (x) \tan (x))$

Этап 10

Объединим $\sec (x)$ и $\frac{\sec (x)}{| \sec^{2} (x) |}$ .

$\frac{\sec (x) \sec (x)}{| \sec^{2} (x) |} \tan (x)$

Этап 11

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec (x)}{| \sec^{2} (x) |} \tan (x)$

Этап 12

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)}{| \sec^{2} (x) |} \tan (x)$

Этап 13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 1}}{| \sec^{2} (x) |} \tan (x)$

Этап 14

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{| \sec^{2} (x) |} \tan (x)$

Этап 15

Объединим $\frac{\sec^{2} (x)}{| \sec^{2} (x) |}$ и $\tan (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{| \sec^{2} (x) |}$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Вынесем неотрицательные члены из-под знака модуля.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Этап 16.2

Сократим общий множитель $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Этап 16.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x)$