Математический анализ Примеры

$y = \ln (\sqrt[3]{3 x})$

Этап 1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3 x}$ в виде ${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 x)}^{\frac{1}{3}})]$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 (x))}^{\frac{1}{3}})]$

Этап 1.3

Применим правило умножения к $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3^{\frac{1}{3}}$ является константой относительно $x$ , производная $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} (3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $3^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{1}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 10

Умножим $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 11.2

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $x^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

Этап 12.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Этап 12.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Этап 12.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 12.1.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{3 x^{1}}$

Этап 12.2

Упростим $3 x^{1}$ .

$\frac{1}{3 x}$