Математический анализ Примеры

$y = \ln (\ln (\cos (x)))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\cos (x))} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4

Объединим $\sec (x)$ и $\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ .

$\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))} (- \sin (x))$

Этап 6

Объединим $\frac{\sec (x)}{\ln (\cos (x))}$ и $\sin (x)$ .

$- \frac{\sec (x) \sin (x)}{\ln (\cos (x))}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{\ln (\cos (x))}$

Этап 7.1.2

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$- \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\ln (\cos (x))}$

Этап 7.1.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$- \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))}$

Этап 7.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\ln (\cos (x))}$

Этап 7.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\ln (\cos (x))})$

Этап 7.4

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos (x) \ln (\cos (x))}$

Этап 7.5

Разделим дроби.

$- (\frac{1}{\ln (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 7.6

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$- (\frac{1}{\ln (\cos (x))} \tan (x))$

Этап 7.7

Объединим $\frac{1}{\ln (\cos (x))}$ и $\tan (x)$ .

$- \frac{\tan (x)}{\ln (\cos (x))}$