Математический анализ Примеры

$y = \log (| 5 - 3 x |)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log (x)$ и $g (x) = | 5 - 3 x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $| 5 - 3 x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 5 - 3 x |]$

Этап 1.2

Производная $\log (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [| 5 - 3 x |]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $| 5 - 3 x |$ .

$\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)} \frac{d}{d x} [| 5 - 3 x |]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 - 3 x$ .

$\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [5 - 3 x])$

Этап 2.2

Производная $| u_{2} |$ по $u_{2}$ равна $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [5 - 3 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 - 3 x$ .

$\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)} (\frac{5 - 3 x}{| 5 - 3 x |} \frac{d}{d x} [5 - 3 x])$

Этап 3

Умножим $\frac{5 - 3 x}{| 5 - 3 x |}$ на $\frac{1}{| 5 - 3 x | \ln (10)}$ .

$\frac{5 - 3 x}{| 5 - 3 x | (| 5 - 3 x | \ln (10))} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Этап 4

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\frac{5 - 3 x}{| (5 - 3 x) (5 - 3 x) | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Этап 5

Возведем $5 - 3 x$ в степень $1$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{1} (5 - 3 x) | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Этап 6

Возведем $5 - 3 x$ в степень $1$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{1} {(5 - 3 x)}^{1} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{1 + 1} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Этап 9

По правилу суммы производная $5 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Этап 10

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Этап 11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 12

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $- 3$ и $\frac{5 - 3 x}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)}$ .

$\frac{- 3 (5 - 3 x)}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (5 - 3 x)}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{3 (5 - 3 x)}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)} \cdot 1$

Этап 15

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3 (5 - 3 x)}{| {(5 - 3 x)}^{2} | \ln (10)}$